波浪理論 第5章 費波那契數列與黃金比率

一、費波那契數列（The Fibonacci Sequence）

費波那契數列是一位13世紀的數學家費波那契（Leonardo Fibonacci）所發現的，艾略特寫作《自然法則》時，特別說明費波那契數列為波浪理論提供了一個數學基礎。而這數列即指如下的數字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610 ……。

 

圖5-1　費波那契比例表

 

每一個數字乃是由前面兩個數字相加得到，依此方法可以往下無窮產生後續的數字。以下是費波那契數列的一些有趣的特色：

◎該數列的數字除以後一位的數字，即可以得到逼近ψ（phi）這個無理數（ψ＝0.618034…）。反之，除以前一個數字則得到1.618（※注意：0.618 × 1.618＝1）。

1/1＝1 → 1/2＝0.5 → 2/3＝0.667 → 3/5＝0.6 → 5/8＝0.625 → 8/13＝0.615 → 13/21＝0.619 → 21/34＝0.618 → ……

◎該數列的數字除以後兩位的數字，可以得到逼近0.382的商數。反之，則是2.618（※注意：0.382 × 2.618＝1）。

1/2＝0.5 → 1/3＝0.33 → 2/5＝0.4 → 3/8＝0.375 → 5/13＝0.385 → 8/21＝0.381 →13/34＝0.382 ……

◎該數列的數字除以後三位的數字，可以得到逼近0.236的商數。反之，則是4.236（※注意：0.236 × 4.236＝1）。

1/3＝0.333 → 1/5＝0.2 → 2/8＝0.25 → 3/13＝0.231 → 5/21＝0.238 → 8/34＝0.0.235 → 13/55＝0.0.236 → ……

◎該數列的數字乘以4，加上前三位的數字，即恰等於後三位的數字。

3×4＋1＝13 ， 5×4＋1＝21 ， 8×4＋2＝34 ， 13×4＋3＝55 ， 21×4＋5＝89

◎假如依序將該數列的數字自1加以編號，編號為質數的數字亦恰為質數（如下表列中有標示“＊”的數字）。

＊		＊		＊				＊				＊								＊
1	，	2	，	3	，	4	，	5	，	6	，	7	，	8	，	9	，	10	，	11	，	…
1	，	1	，	2	，	3	，	5	，	8	，	13	，	21	，	34	，	55	，	89	，	…

◎數列中相連的兩個數字並無公因子。

◎數列中任何相連的十個數字，其和必可為“11”整除。

（3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＋144＋233）÷ 11＝55

◎從頭將該數列相加至任何一個數字，其和加1等於後二位的數字。

（1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34）＋1＝89

◎該數列中的任一個數字的平方，減去其前二位數字的平方，其餘數必為費波那契數列中的數字。

8^2－3^2＝55 ， 13^2－5^2＝144

◎從頭將該數列的數字的平方相加至任何一個數字，恰等於該數字和其後一位數字的相乘。

1^2＋1^2＋2^2＋3^2＋5^2＋8^2＝104＝8 × 13

◎任何一位費波那契數列的平方，等於前後兩位級數的乘積，並且加減1。

5^2＝(3 × 8)＋1 ， 8^2＝(5 × 13)－1 ， 13^2＝(8 × 21)＋1

◎在級數中，任何一位數當做被除數，這個數字的前二位級數當做除數，所得的商數永遠是2，它的餘數剛好是除數的前面一位級數。

21 ÷ 8＝2 … 5 ， 55 ÷ 21＝2 … 13

 

最後，（√5＋1）÷ 2＝1.618，（√5－1）÷ 2＝0.618，而√5＝2.236。在波浪理論中，5是最重要的數字，它的平方根對ψ來說是個數學上的關鍵。

成功的投資必須具備最重要的才略是：能夠有開放的心胸，並且擴充個人有限的知識領域。最大的錯誤就是：不知道為什麼會不知道。艾略特認為費波那契總和級數是宇宙中各種行為的數學核心，遭到極大的爭議，但是它的證明似乎包含了太多巧合，因此也無法完全排斥。在股價行為上應用費波那契數列的優點是：可以將一連串的資料，限定在一個數額內，∵數字增加或發生差異而隨時修改。

每一個人擁有的才藝，事實上是一種天生的數學直覺，這種現象在藝術家身上特別明顯。任何偉大的藝術品上，都出現了「數學的直覺」，例如音樂、文學等等。艾略特認為這種直覺的本身就是「費波那契總和級數」，這個級數管制著全人類、動物及植物，是任何行為的數學基礎。

 

二、黃金比率（Golden Ratio）

任何一個長度，都能夠用下列方式來劃分成同一比率的長度。較短部分和較長部分的比率與較長部分及整體的數率比率相符，其比率便是0.618。以圖5-2來說，由正方形□ABCD的中線切出直角三角形△BCE，再由三角型的斜邊BE＝√5＝斜邊EG（設正方形的邊長＝2），新的矩形□AFGD與□BFGC稱為黃金矩形，與原來正方形□ABCD的比率分別為1.618（＝□AFGD ÷ □ABCD）及0.618（＝□BFGC ÷ □ABCD）。

圖5-2　黃金矩形

 

黃金矩形可以用來構成黃金螺旋形。如圖5-2的任何一個黃金矩形，可以被分割成一個正方形以及較小的黃金矩形，如圖5-3所示。理論上來說，這個過程可以一直無限持續，由此畫出的正方形看起來會向內迴旋，標示為A、B、C、D、E、F以及G。圖中的兩條虛線本身就互為黃金比例關係，兩線的交點理論上就是迴旋正方形的中心。

圖5-3　黃金螺旋形

 

黃金螺旋形是一種對數螺旋形或對角螺旋形，沒有界限，是持續不斷的形狀。從螺旋形上的任何一點開始，螺旋不斷地向內與向外無限地進展下去，永遠碰不到中心點，也無限地往外延伸。在黃金螺旋形演進的任何一個點，弧的長度與直徑的比例是1.618，直徑依次為較小直徑的1.618，半徑也是如此。

歐基里德的幾何形狀一般都隱含了靜態，而螺旋則包含了運動：成長與衰敗、擴張與收縮、前進與後退。對數螺旋形是大自然成長的典型表現，大至星系的運動，小至原子粒子的運動。松果、海馬、蝸牛殼、波浪、向日葵等都形成對數螺旋形。因此，黃金螺旋形是一股無窮盡地擴張與收縮的力量，是掌握動態進展的一項靜態法則，全都繫於1.618這個黃金平均數。

0.618（或1.618）就是所謂的黃金比率或黃金平均數（Golden Mean），這個比例是眼睛看起來、耳朵聽起來最舒服的比例，此一比例被譽為人類視覺上最優美的組合。埃及金字塔的底邊和高度之比正是0.618，此外，在建築、音樂、生物學、藝術創作上，黃金比率皆有其不凡的出現機率。

在波浪理論的應用上，經由費波那契數字相除產生的比例，依其重要性依序排列為：0.618（1.618） → 0.382（2.618） → 0.236（4.236）。這些數字彼此之間有很有趣的關係存在，如下：

0.382	×	0.618	＝	0.236
1	－	0.618	＝	0.382
0.618	×	0.618	＝	0.382
0.382	×	1.618	＝	0.618
0.618	×	1.618	＝	1
0.382	×	2.618	＝	1
0.236	×	4.236	＝	1
0.382	×	3.618	＝	1.382
0.618	×	2.618	＝	1.618
1.618	×	1.618	＝	2.618

 

由於黃金比率可以從費波那契數列產生，因此會讓人誤以為二者的關係是唯一的。其實只要一個數列，其每一個數字皆由前面兩個數字相加得到，則此數列前後兩個數字相除，其商數皆會逼近0.618。例如，隨便以2和11兩個數字開頭產生的數列：2，11，13，24，37，61，98，159，257，416，673，…。

以此數列前後兩個數字相除，其商數亦逼近0.618（24/37＝0.649，98/159＝0.616，416/673＝0.618，…）。從這個事實來看，黃金比率遠比費波那契數列的數字更具有普遍性，也更重要。亦即，黃金比率（0.618、1.618以及0.382、2.618、0.236等比率）在波浪理論的地位是比費波那契數列重要。黃金比率是幾何數列的基本法則，並掌握了有關自然現象盛衰的各項資料級數的許多關係。

廣義來說，波浪理論提出了一項觀念：形成天上螺旋形星雲的同一法則也形成人類大眾的意向與態度。股票市場是全世界最能反映出人類集體的心理狀況，它幾乎完整地記錄了人類的社會心理狀態及趨勢，記錄了生產企業的變動價值及使其進步和迴歸的真實形態得以明顯化。

波浪理論主張人類的進展並非以直線前進，並非隨機出現，也並非週期性發生，而是以「前進三步，後退兩步」的方式行進，這種方式是大自然偏愛的方式。更無可辯駁的是，∵人類的活動與費波那契數列及螺旋形的進展形式有所關聯，∴宇宙得成長通則顯然是沒有例外的。愛因斯坦說：「上帝不和宇宙擲骰子」，股票市場也不例外，∵大眾的集體行為不可否認是與一個法則有所關聯，而這個法則是可以被研究出來且被定義的。這個理論的最簡短表達方式就是一個簡單的數學說法：1.618的黃金比率。

 

三、螺旋形股市（Spiraling Stock Market）中的費波那契

股市的運作和許多自然現象一樣，是以同一個數學原則為基礎，正如同波浪的進展是依據同一個數學基礎。在總股價波動時會形成波浪，而費波那契數列會影響到波浪的數目，使波浪以「上升五波下降三波」為基礎擴展開來。如同圖2-3所顯示的，股市的基本結構衍生出完整的費波那契數列。

圖5-4所示，這個數列可以無限延伸下去。波浪會產生費波那契數列，這個事實顯示出，人類集體表達出的情感是自然界這個數學法則的一大關鍵。

圖5-4　波浪產生的費波那契數列

圖5-5　螺旋形股市中的費波那契

 

依據費波那契比例而形成的股市行為是否反映出螺旋形的成長？答案是肯定的。理想中的艾略特股市進展概念，如圖2-2所顯示的，是一個很優秀的基礎，可以據此形成一個對數螺旋，圖5-5是以近似值描繪而成的。在這個結構中，較高層級的每一個攻擊波的高點，正好會碰觸到依指數所形成的對數螺旋。

艾略特的波浪形式，其結構複雜度有秩序可循，會顯示出費波那契數列，如圖5-6。不論攻擊波是否含有傾斜三角型，不論複式修正波中的三角型是哪一類，這些組合排列互換或是波浪中發生不甚重要的波動，像是產生延長或是替換，都還是會使波浪進展持續下去。

圖5-6　波浪複雜型態中的費波那契結構

 

四、費波那契數列及黃金比率的應用

經濟學家及科學家，彼得‧高根（L. Peter Cogan）在著作「樂觀與悲觀的循環節奏」中指出：實際股價、領先經濟指標、私人借貸行為、大型經濟的萎縮，這些經濟情況發生的時間、順序、幅度有著完美的節奏重現模式，符合了樂觀與悲觀的循環節奏，這個節奏控制著整體的行為模式，駁斥學術界的隨機漫步理論。

根據高根的說法，政府的貨幣政策及財政政策，對於經濟循環並無顯著的影響，但是這些政策有時會影響週期的幅度以及週期的持續時間，這種看法必然加強了修姆彼得及康達耶夫循環理論的正確性。康達耶夫的理論中，短期循環包含於54年週期的長循環中，短週期內的漲跌現象，起因於一般投資大眾的信心及流通性、時間因素、買氣是否旺盛，以及政治領袖是否領導有方，但是在長週期上毫無影響。

“人類的任何行為都具備三種特性：模式、時間、比例，這些都符合了費波那契級數。”根據艾略特的說法～自然定律的數學基礎，就是費波那契總和級數，這是人類任何行為的函數；而且，不論目前人類是否加以記錄，這些行為全都呈現波浪型態。

波浪理論的目的，是對於未來正常的行為模式做廣泛的基礎。大抵而言，波浪理論的三個核心重點，依重要性排列順序為：①波浪的型態：波數、波形，即「攻擊五波、修正三波」的基本架構、攻擊波和修正波的各種形態，及協助確定波數和波形的各項重要原則→②比率：各波浪漲跌幅的預估→③時間：各波浪進行的時間。基本上，若從準確性、可靠性及實用性等角度來看，第①部分的重要性是遠遠超過第②及③部分，∵若搞不清楚目前的波浪位置，而動輒拿黃金比率及費波那契數列推估未來高低點及時間，則是十足的捨本逐末！

費波那契數列的時間目標估計，是由顯著的頂部與底部開始計數。在日線圖上來分析，由重要的反轉點開始計算交易日數，且預期未來的頂部或底部將發生在費波那契數列的日子，即是在未來的第5、第8、第13、第21、第34、第55、第89或第144個交易日。同樣的分析也可使用在週線、月線或年線的圖形上。

 

⑴心理現象

艾略特認為在股價行為的背後具有真正的決定力量，一般投資大眾在投機的努力上很難獲得成功，而且對於證券價格缺乏預測的能力。其原因是：一般投資人太過在意市場的偶發事件，但是這些偶發事件對於市場未來的走向，並沒有太大影響力。

股票市場的動向經常受到尚未發生的事件所影響，艾略特說道：「密切注意著股票市場，如果預測成功就可以獲利，但是必須注意到突發事件，∵一般投資人只注意著市場的變化，卻完全不了解市場是一項心理現象。他們不能抓住一個事實：市場是按照規則進行波動，因此股價走勢有其節奏或是按照一個順序進行。因此稍有經驗的市場預測人員都知道，在意外事件中，他的預測必然缺乏準確性及價值。」

市場就像全世界任何事物一樣，有其法則。假如沒有規則，其價格就沒有中心依據，造成混亂，於是市場消失。對於市場深入研究，市場的走勢呈現出：節奏、規則、尺度、和諧。必須在適當的角度上才能發現市場背後的規則，並且根據這個方法加以分析。簡單地說，證券市場是由人類創造，必然反映出人類的特性。

波浪理論及費波那契總和級數代表人類反應的法則及節奏，能夠在證券市場上辨認股價的波動現象。當研究這些市場的走勢，配合著波浪理論時，必須特別注意任何作用與反作用所包含的型態、比率、時間等三個顯著的特徵，而且這些特徵都出現於費波那契級數上。

 

⑵型態

一般來說，一位分析人員應該知道，任何走勢的數目必須達到費波那契級數的整數才算完全。在自然定律中，艾略特說道：「根據經驗，我認為144是具有實用價值的最大數目。」亦即，一個大的循環週期應該涵蓋144個細小的波浪。在下表中可以發現：所出現的數目全都是費波那契級數中的數字，而且波浪的長度可以改變，但是波浪的數目永遠不變。

 

	多頭市場	空頭市場	總計	附註
長期波浪數目 中期波浪數目 短期波浪數目	5 21 89	3 13 55	8 34 144	完整循環 完整循環 完整循環

 

圖2-3　再細分的波浪走勢，詳細說明這種分解的現象。但務必記住，圖2-3說明的是一種模式，永遠不可期望股票市場的行為完全符合這種模式，艾略特特別指出：時間與波幅會發生偏差，任何波浪也不可能完全按照圖上的固定模式進行。

 

⑶各波浪的比率關係

 

漲跌幅比率＝修正波的漲跌幅度 ÷ 攻擊波的漲跌幅度

時間比率＝修正波的漲跌時間 ÷ 攻擊波的漲跌時間

 

根據艾略特及派瑞特先生對股市百餘年資料的實證研究，各波浪之間，不論是漲跌幅或是時間皆存在某些比例的關係。以「上五波、下三波」的走勢來看，下三波空頭走勢下跌的幅度大小或所需的時間，和上五波多頭走勢相比，其比例最可能是接近0.618。在實際的應用上，我們可以根據空頭走勢跌幅拉回的比例是否大於或小於0.618來研判多頭氣勢的強弱。例如若拉回幅度不及漲幅的0.618，即表示多頭的力道超過平均水準，緊接著的下一波攻擊將比一般水準來得強；反之，若超過0.618，則隱含多頭氣勢不足的可能性。

上述所謂各波浪之間乃指：①1、3、5波之間；②2、4波；③1、2波之間；④2、3波之間；⑤3、4波之間；⑥4、5波之間；⑦a、b波之間；⑧b、c波之間；⑨a、c波之間等等。而各波浪之間的比率（包括漲跌幅及時間）則最可能是黃金比率，即0.618（1.618）、0.382（2.618）、0.236（4.236）和1、0.5（2）等。

請記住最重要的數據：①修正波的時間與幅度大約等於前一個攻擊波的61.8%、②下一個攻擊波與前面這個修正波的時間與漲跌幅上，都呈現1.618倍。例如，如果修正波的時間長達5個月，那麼下一個攻擊波的時間應該長達8個月、③使用總和級數估計修正波浪時，必須注意前一波浪的總和級數。例如，一個攻擊波含有13個小波浪，那麼下一個修正波應該含有8個小波浪。

在運用各波浪的比例關係時，有兩點須特別留意，如下：

◎比率關係只存在各波浪的「漲跌幅」，而非各波浪的指數。

圖5-7　比率關係只存在各波浪的漲跌幅

 

以上五波下三波之間的比例關係來說，我們考慮的是［P］和［Q］的比率關係，至於第5波終點的指數和C波終點的指數並無任何關係可以探討。亦即，指數的絕對數字並無任何意義，指數之間的差額（即漲跌幅）才有意義。

◎各波浪之間的比率關係是「可能存在」，而非「必然存在」。

這是一個屬於機率的課題，就統計的觀點而言，最可能出現的比例數字約為0.618（其次為0.382及0.5等），但是並非必然落於0.618！亦即，0.618的機率大於其它黃金比率，但是其它黃金比率的可能性加總起來卻遠大於0.618。

以實際應用上來說，若拉回0.618之處，大盤出現止跌走穩的現象，而且波數也似乎走完三波，如此我們據以判定空頭走勢已經結束，這樣子的研判方法是遠遠比事先用0.618預估止跌之處來得較正確，也較能符合黃金比率的使用原則。

 

關於各波浪的比例關係，另有以下幾項可供實際的應用：

◎攻擊波中的一、三、五波，其中兩波的漲幅及時間可能相等。尤其是第三波發生延長時，第一波及第五波極可能相等！若並不相等，則0.618倍的關係將是最可能發生。

◎第五波的漲幅，和第一波起點以迄第三波的終點，二者之間往往存在費波那契比例的關係。

◎C波和A波的跌（漲）幅，存在著黃金比率，C波往往是A波的1.618倍。在某些例子中，C波的終點和A波的終點，二者之間恰好相差A波跌幅的0.618倍（此點是針對鋸齒型修正波而言）。

◎收斂三角型（Contracting or Symmetrical Triangle）中的5波之間，其幅度經常存在0.618（或0.809）的關係。

 

使用費波那契級數和黃金比率時，必須要配合著波浪理論基礎，並且與艾略特理論經常加以校對。研究波浪理論的人，要不斷測量以決定各種可能出現的時機。波浪理論的數學基礎中，其推算本身並不具備絕對性，而是對於以後發生的行為做為變數的參考依據。

波浪理論把一段行情分成許多層級來做分析，亦即，一段行情同時會有許多不同的層級正在運作。因此，在分析一段行情時，越有可能在不同層級上創造出好幾個黃金比率關係，就越有可能是未來行情的轉折點。例如：第⑵波的回檔是第⑴波的0.618倍，而這個修正的目標價位從修正波來看，⒞波正好是⒜波的1倍，而這個⒞波內的5波裡，第5波也正好＝第1波。這時你就可以信心滿滿地預測這個目標價格會是一個轉折點。

圖5-8　波浪之間的乘數關係

 

最後，強調使用比率關係的三項重要原則：

◎波浪理論依重要性排列依序為①波浪的型態 → ②比率 → ③時間。∴波浪型態的判定必須優先於各波浪之間的比率推估，在未弄清楚波浪（波數、波形）即逕行預估高低點，猶如盲人騎瞎馬、半夜臨深淵！

◎當波浪型態（波數、波形）的認定有多種可能時，若其中一種各波浪之間最符合比率關係，則此一波數認定最為可能。

◎雖然不斷有證據顯示，0.618這個比率極為重要，但分析必須仰賴對波浪型態的正確判斷，比率分析只能用來驗證或質疑我們對走勢判斷的正確與否。對使用比率分析的建議：「越簡單越好」。

 

⑷時間推估

基本上，「時間」這一項目是很難加以推估，沒有一個可靠的方式可以光是使用時間這個因素來預測行情。然而我們常常會觀察到，一段行情所持續的時間與跟它發生的時間點之間本身就反映出費波那契比例的關係。根據過去的紀錄，波峰到波谷、波峰到波峰、波谷到波谷、波谷到波峰之間所需的時間往往是費波那契數列的數字，而這時間計算可能是以年、月或交易日為計算單位。這樣的結果可以幫助分析人員判斷可能的轉折時點，尤其如果這樣的轉折時點是跟目標價格或波浪的計算互相吻合的時候。

1875年，班納（Benner）寫了一本書名為《未來價格漲跌的商業預言》（Business Prophecies of the Future Ups and Downs in Prices），書中所提出的預言，主要是根據生鐵價格的循環以及一再出現的經濟恐慌循環。班納指出：商場上的高點往往會遵循著8-9-10的年度重複模式，經濟低點則反映出一個重複的16-18-20模式。

圖5-9　班納－費波那契循環圖，1902～1987

 

使用費波那契總和級數配合著時間的循環，我們不僅可以清楚地透視各種不同等級的循環出現，並且可以利用級數推算出最末端的時機，以及下一步可能出現的走勢。時間的長短應該分為三種加以考慮：長期走勢、中期走勢、短期走勢。當您有了經驗，再檢視各種圖表資料及研究波浪關係時，可以立刻找出各種時段的結束時機。如果配合總和級數，您可以感知這些結束，並且預測各種走勢大約的結束時間。

任何短期走勢如果超過了3個小時，那麼這個走勢極可能延長至5個小時，∵5這個數字在總和級數內，∴這一波走勢極可能成為總和級數的5小時。如果這個走勢的延長再超過了5小時，那麼預期走勢達到8小時才會出現逆轉現象。

同理，在一個走勢的前三天之內，不可妄下決定，只能夠仔細研究小走勢的資料。∵在這前三天之內，小走勢隨時會發生變化。∵1、2、3都屬於完整的週期。但是當走勢超過第3天時，我們可以預期這個走勢極可能長達5天才能完成。如果這個走勢超過了5天，那麼極可能要等到第8天才會發生變化。到那時，投資人才能考慮採取行動。現在投資人應該可以了解走勢的持續力量，直到它的力量耗盡才算結束。在更長期的時段中，這個方法同樣可以適用。

不論如何，用任何方法分析都沒有絕對性。艾略特波浪理論對於證券市場的行為，從不做固定的裁判或絕對的預測。例如：在一個走勢中，如果小波浪已經出現了30個，極有可能再沿著這個走勢持續4個波浪。在這並不表示在34個波浪時走勢會結束，應該預測這個走勢可能在此結束，請牢記在心，走勢可能延續至55個波浪或者89個波浪，甚至長達144個波浪。

最後，如上一節「各波浪之比率關係」的運用原則，各波峰、波谷之間的時間因素「可能」是費波那契數字，但並非必然！波浪的認定也遠比時間因素來得重要，攻擊波與修正波的時間關係可以寬容，但是其漲跌幅度的關係，不允許有任何誤差。此外，時間因素亦是我們認定波數的一項有效的工具。

 

※參考資料：

《艾略特波浪理論》，作者：A.J.Frost & Robert R.Prechter，譯者：張嚶嚶、蕭長榮，發行所：眾文圖書股份有限公司，1991年12月 一版一刷。

《艾略特波浪理論》，作者：A.J.Frost & Robert R.Prechter，譯者：林錦慧，發行所：眾文圖書股份有限公司，2002年6月 初版一刷。

《波浪理論》，編譯：陳元文，出版者：明興出版有限公司，1991年10月再版。

《艾略特波浪理論新創見》（Harmonic Elliott Wave：The Case for Modification of R. N. Elliott's Impulsive Wave Structure），作者：Ian Copsey，譯者：黃嘉斌，出版者：寰宇出版股份有限公司，2012年7月 初版一刷。

《波浪理論解析-以台灣股市為例》，作者：江瑞凱，出版者：眾文圖書，1991年9月出版。

《波浪理論實戰篇》，作者：白輔台，出版者：小報文化有限公司，1992年3月初版。

《探金實戰‧波浪理論》，作者：齊克用，出版者：寰宇出版股份有限公司，2009年3月 初版一刷。

《破浪－台股波浪理論實戰第一書》，作者：鄭超文，出版者：財信出版有限公司，2009年7月15日 初版一刷。

《艾略特波動原理精義》，譯者：倪銘海，出版者：財訊出版社，1989年4月1日出版。

《混沌操作法》（Trading Chaos：applying expert techniques to maximize your profits），作者：Bill Williams，譯者：黃嘉斌，出版者：寰宇出版股份有限公司，1998年1月初版。